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/ TeX 1995 July / TeX CD-ROM July 1995 (Disc 1)(Walnut Creek)(1995).ISO / systems / mac / textures / utilities / RTF->TeX.sit.hqx / RTF->TeX ƒ / RTF.tex1 < prev   
Text File  |  1992-11-27  |  8KB  |  172 lines
  1. %
  2. % Converted from RTF format using rtf2TeX
  3. % Comments and bugs to Robert Lupton (rhl@astro.princeton.edu)
  4. %
  5. \headline={\tenrm \footnum=1 \kern 36pt \number\pageno\hfil }
  6. \footline={\tenrm }
  7. %
  8. \hsize=6in
  9. \vsize=9in
  10. \hoffset=0.25in
  11. \parindent=0pt
  12. \newcount\footnum\footnum=1
  13. %
  14. \Times The two-dimensional Dirac equation for a function {\it 
  15. $\psi$\/}DFO2():DFO2(){\GreekAB  }$^2$~ ~{\GreekAB \`{U}}$^2$ is 
  16. given by
  17.  
  18.  
  19. \parindent=72pt  {\it $_t$\/}{\it $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/})  =  
  20. [{\it $\alpha$\/}( {\it $_x$\/}  {\it iA\/}$_1$({\it t\/},{\it 
  21. x\/}))  {\it i\/}.{\it m\/}{\it $\beta$\/} + {\it i\/}.{\it 
  22. A\/}$_0$({\it t\/},{\it x\/})]{\it $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/}), 
  23. {\it t\/} $\in$ {\GreekAB  }, {\it x\/} $\in$ {\GreekAB  },\qquad (XX)
  24.  
  25.  
  26. \parindent=0pt in a system of physical units in which the light 
  27. velocity{\it  c\/} and Planck's constant h are equal to one. The 2 2 
  28. matrices {\it $\alpha$\/} and {\it $\beta$\/} are hermitian with {\it 
  29. $\alpha$\/}$^2$ = {\it $\beta$\/}$^2$ = 1 and {\it 
  30. $\alpha\beta$\/} + {\it $\beta\alpha$\/} = 0. Both {\it A\/}$_0$ 
  31. and {\it A\/}$_1$ are real valued functions on {\GreekAB  }$^2$. 
  32. The number {\it m\/} represents the rest mass of the particle whose 
  33. state is associated with the function {\it $\psi$\/}.
  34.  
  35. If for the moment we suppose that the functions {\it A\/}$_0$ and 
  36. {\it A\/}$_1$ are both identically zero on {\GreekAB  }$^2$, then 
  37. equation (XX) becomes
  38.  
  39.  
  40. \parindent=72pt  {\it $_t$\/}{\it $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/})  =  
  41. [{\it $\alpha$\/} {\it $_x$\/}  {\it i\/}.{\it m\/}{\it 
  42. $\beta$\/}]{\it $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/}),DFO24(){\it t\/} $\in$ 
  43. {\GreekAB  }, {\it x\/} $\in$ {\GreekAB  }.\qquad (XY)
  44.  
  45.  
  46. \parindent=0pt On any space {\it L\/}{\it $^p$\/}({\GreekAB  
  47. }$^2$,{\GreekAB \`{U}}$^2$), 1 $\le$ {\it p\/} $<$ , the operator 
  48. {\it $\alpha$\/} {\it $_x$\/}  is associated with a continuous, 
  49. uniformly bounded group {\it S\/}{\it $_p$\/}({\it t\/}), {\it t\/} 
  50. $\in$ {\GreekAB  }, of linear transformations on {\it L\/}{\it 
  51. $^p$\/}({\GreekAB  }$^2$,{\GreekAB \`{U}}$^2$): there exists a 2 
  52. 2 unitary matrix {\it U\/} such that {\it U\/}{\it $\alpha$\/}{\it 
  53. U\/}SUP6(1) = B(ACO2HS3(1,0,0,1)), so that {\it US\/}{\it 
  54. $_p$\/}({\it t\/}){\it U\/}SUP6(1){\it $\phi$\/}({\it x\/}) = ({\it 
  55. $\phi$\/}$_1$({\it x\/}+{\it t\/}),{\it $\phi$\/}$_2$({\it 
  56. x\/}{\it t\/})) for {\it $\phi$\/} $\in$ {\it L\/}{\it 
  57. $^p$\/}({\GreekAB  }$^2$,{\GreekAB \`{U}}$^2$). For {\it p\/} = 
  58. , we have continuity for the weak*-topology {\it $\sigma$\/}({\it 
  59. L\/}$$({\GreekAB  }$^2$,{\GreekAB \`{U}}$^2$),{\it 
  60. L\/}$^1$({\GreekAB  }$^2$,{\GreekAB \`{U}}$^2$)). Each of the 
  61. component functions {\it $\phi$\/}$_1$ and {\it $\phi$\/}$_2$ is 
  62. transformed according to the action of a translation in {\GreekAB  }$^2$.
  63.  
  64. It follows from the Trotter product formula [K ] that the operator 
  65. {\it $\alpha$\/} {\it $_x$\/}  {\it i\/}.{\it m\/}{\it $\beta$\/} is 
  66. also associated with with a uniformly bounded group of operators on 
  67. {\it L\/}$$({\GreekAB  }$^2$,{\GreekAB \`{U}}$^2$), so Theorem 
  68. XYZ shows that there are countably additive operator valued measures 
  69. associated with equation (XY) and solutions to equation (XX) can be 
  70. represented by integrals with respect to these measures.
  71.  
  72. Similarly, the wave equation in two space-time dimensions is
  73.  
  74.  
  75.  {\it $_t$\/}$^2${\it $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/})  = {\it 
  76. c\/}$^2$  {\it $_x$\/}$^2${\it $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/})  , 
  77.  {\it $\psi$\/}(0,{\it x\/}) = {\it f\/}({\it x\/})  ,  {\it 
  78. $\psi$\/}{\it $_t$\/}(0,{\it x\/}) = {\it g\/}({\it x\/}) , {\it x 
  79. \/}$\in${\it  \/}{\GreekAB  }, {\it t\/}   0.
  80.  
  81. \hfil\break
  82. Let {\it v\/}({\it t\/},{\it x\/}) =  {\it $_t$\/}{\it u\/}({\it 
  83. t\/},{\it x\/}) - {\it c\/}  {\it $_x$\/}{\it u\/}({\it t\/},{\it 
  84. x\/}) ,  {\it $_t$\/}{\it v\/}({\it t\/},{\it x\/}) + {\it c\/}  
  85. {\it $_x$\/}{\it v\/}({\it t\/},{\it x\/}) = 0, with
  86.  
  87.  
  88. {\it v\/}(0,{\it x\/})  =  {\it g\/}({\it x\/}) - {\it cf\/} '({\it 
  89. x\/}), {\it u\/}({\it x\/}) = {\it f\/}({\it x\/}), for all {\it x 
  90. \/}$\in${\it  \/}{\GreekAB  }.
  91.  
  92. \hfil\break
  93. On setting{\it  $\phi=$ \/}B(A({\it u\/},{\it v\/})), the equation 
  94. becomes the first order system
  95.  
  96.  
  97.  {\it $_t$\/}{\it $\phi$ \/}= {\it A\/}  {\it $_x$\/}{\it 
  98. $\phi$\/} + {\it iQ\/}{\it $\phi$ \/} , {\it Q \/}= B(A(0{\it  
  99. \/}-{\it i\/},0 0)),  {\it A  \/}= B(A({\it c  \/}0,0 -{\it 
  100. c\/})),{\it \/}
  101.  
  102.  
  103. with the initial condition   {\it $\phi$\/}(0,{\it x\/}) ={\it  
  104. \/}B(A({\it f\/}({\it x\/}),{\it g\/}({\it x\/}) - {\it cf\/} '({\it 
  105. x\/}))), {\it x \/}$\in${\it  \/}{\GreekAB  }.
  106.  
  107. The operator {\it A\/} {\it $_x$\/}{\it $\phi$\/} + {\it iQ\/} is 
  108. also associated with with a uniformly bounded group of operators on 
  109. {\it L\/}$$({\GreekAB  }$^2$,{\GreekAB \`{U}}$^2$), so 
  110. perturbations to the wave eqaution may also be represented in terms of 
  111. path integrals.
  112.  
  113. \parindent=18pt Similar considerations apply to the {\it N\/} {\it 
  114. N\/} hyperbolic system of the first order
  115.  
  116.  
  117. \parindent=15pt  {\it $_t$\/}{\it $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/})  =  
  118. [ISU({\it l\/}=1,{\it d\/}, ){\it P\/}{\it $_l$\/}( {\it 
  119. $_x$\/}$_{SDO2(}${\it $_i$\/}$_)$  {\it iA\/}{\it $_l$\/}({\it 
  120. t\/},{\it x\/})) + {\it iQ\/} + {\it iV\/}({\it t\/},{\it x\/}) ]{\it 
  121. $\psi$\/}({\it t\/},{\it x\/}), 0 $<$ {\it t\/} $<$ {\it T\/}, {\it x 
  122. \/}$\in$ {\bf R}{\it $^d$\/},\qquad (XXA)
  123.  
  124. \hfil\break
  125. \parindent=0pt where 0 $<$ {\it T\/} $<$ , and {\it P\/}{\it 
  126. $_l$\/}, 1 $\le$ {\it l\/} $\le$ {\it d\/}, and {\it Q\/} are 
  127. constant {\it N\/} {\it N\/}-matrices, and {\it A\/}{\it 
  128. $_l$\/}({\it t\/},{\it x\/}), 1 $\le$ {\it l\/} $\le$ {\it d\/}, and 
  129. {\it V\/}({\it t\/},{\it x\/}),  0 $\le$ {\it t\/} $\le$ {\it T\/}, 
  130. {\it x \/}$\in$ {\bf R}{\it $^d$\/} are real-valued functions. The 
  131. function {\it $\psi$\/} has values in {\bf C}{\it $^N$\/}. It is 
  132. assumed that {\it P\/}{\it $_l$\/} , 1 $\le$ {\it l\/} $\le$ {\it d 
  133. \/}have only real eigenvalues, and that they are simultaneously 
  134. diagonalizable. The path space measures associated with the first 
  135. order hyperbolic system (XXA) were first considered by T. Ichinose 
  136. [Ich ] who examined properties of the fundamental solution of the 
  137. system (XXA). 
  138.  
  139. The alternate viewpoint using the Trotter product formula outlined 
  140. above was formulated in [Jeff  ] as an application of Theorem ZZZ. The 
  141. essence of this approach is that there is a collection of dynamical 
  142. systems, represented by translations along the {\it x\/}{\it 
  143. $_i$\/}-axes, 1 $\le$ {\it i\/} $\le$ {\it d\/} for the equations 
  144. (XXA), that act independently on components of the state vector prior 
  145. to suffering a {\it mixing\/} of components via a semigroup of 
  146. operators, for example, the semigroup generated by the constant matrix 
  147. {\it iQ\/} in equation (XXA). 
  148.  
  149. The operator ISUIN({\it l\/}=1,{\it d\/}, ){\it P\/}{\it $_l$\/} 
  150. {\it $_x$\/}$_{SDO2(}${\it $_i$\/}$_)$  in (XXA) can be written 
  151. more suggestively as\hfil\break
  152.  IIN({\it $_K$\/},, )ISUIN({\it l\/}=1,{\it d\/}, ){\it 
  153. $\lambda$\/}{\it $_i$\/} {\it $_x$\/}$_{SDO2(}${\it 
  154. $_i$\/}$_)$ d{\it R\/}({\it $\lambda$\/}$_1$,...,{\it 
  155. $\lambda$\/}{\it $_d$\/}). The matrices {\it P\/}{\it $_l$\/} , 1 
  156. $\le$ {\it l\/} $\le$ {\it d\/} are simultaneously diagonalizable, so 
  157. there exists a discrete spectral measure {\it R\/} acting on {\GreekAB 
  158. \`{U}}{\it $^N$\/} such that {\it P\/}{\it $_i$\/} =  IIN({\it 
  159. $_K$\/},, ){\it $\lambda$\/}{\it $_i$\/} d{\it R\/}({\it 
  160. $\lambda$\/}$_1$,...,{\it $\lambda$\/}{\it $_d$\/}), for each 1 
  161. $\le$ {\it l\/} $\le$ {\it d\/}; the set {\it K\/} is the joint 
  162. spectrum of the system of matrices ({\it P\/}$_1$,...,{\it P\/}{\it 
  163. $_d$\/}). 
  164.  
  165. Our aim now is to apply these ideas in the general setting of a direct 
  166. sum of dynamical systems over a single measure space ({\it 
  167. $\Sigma$\/},{\ZapfChancery E},{\it $\mu$\/}):
  168.  
  169.  
  170.  
  171. \bye
  172.